Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2，離心率為

1

2

（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)M（0，1），且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若

AM

=2

MB

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)橢圓的焦距為2，離心率為

1

2

，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線l方程為y=kx+1，代入橢圓方程，由

AM

=2

MB

得x₁=-2x₂，利用韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)可得(

8k

3+4k2

)2=

4

3+4k2

，求出k，即可求直線l的方程．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)，
因?yàn)?span id="0g4dlj0" class="MathJye">c=1，

c

a

=

1

2

，所以a=2，b=

3

，
所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（2）由題得直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為y=kx+1
則由

y=kx+1 x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8kx-8=0，且△＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由

AM

=2

MB

得x₁=-2x₂…..（8分）
又

x1+x2= -8k 3+4k2 x1•x2= -8 3+4k2

，
所以

-x2= -8k 3+4k2 -2x22= -8 3+4k2

消去x₂得(

8k

3+4k2

)2=

4

3+4k2

解得k2=

1

4

，k=±

1

2

所以直線l的方程為y=±

1

2

x+1，即x-2y+2=0或x+2y-2=0…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓為載體，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是直線與橢圓方程的聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可解．