Question

在極坐標系中，曲線C：ρsin²θ=2cosθ，過點A（5，α）（α為銳角且tanα=

3

4

）作平行于θ=

π

4

（ρ∈R）的直線l，且l與曲線C分別交于A，B兩點．
（Ⅰ）以極點為原點，極軸為x軸的正半軸，取與極坐標相同單位長度，建立平面直角坐標系，寫出曲線C和直線l的普通方程；
（Ⅱ）求|AB|的長．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由已知求出sinα，cosα的值，則由極坐標和直角坐標的互化公式求得A點的坐標，結(jié)合直線l平行于θ=

π

4

求直線l的斜率，由點斜式得直線l的方程．把曲線C：ρsin²θ=2cosθ兩邊同時乘以ρ，則曲線C的普通方程可求；
（Ⅱ）直接聯(lián)立直線方程和曲線C的方程，利用弦長公式求得|AB|的長．

解答： 解：（Ⅰ）∵α為銳角且tanα=

3

4

，
∴sinα=

3

5

，cosα=

4

5

，
由x=5cosα=5×

4

5

=4，y=5sinα=5×

3

5

=3．
∴點A的直角坐標為（4，3），
又直線l的斜率k=tan

π

4

=1，
∴直線l的普通方程為y=x-1，
曲線C：ρsin²θ=2cosθ，得ρ²sin²θ=2ρcosθ，即y²=2x．
∴曲線C的普通方程為y²=2x；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y2=2x y=x-1

，得x²-4x+1=0，
由韋達定理得：x₁+x₂=4，x₁x₂=1，
由弦長公式得|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|
=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

42-4

=2

6

．

點評：本題是直線與圓錐曲線的綜合題，考查了極坐標與直角坐標的互化，訓練了利用弦長公式求線段的長度，屬中檔題．