Question

14．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，橢圓C與y軸交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=2．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在y軸的右側(cè)，直線PA，PB與直線x=4交于M，N兩點(diǎn)，若以MN為直徑的圓與x軸交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍及|EF|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得，2b=2，再由橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解得a=2，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）方法一、設(shè)P（x₀，y₀）（0＜x₀≤2），A（0，-1），B（0，1），求出直線PA，PB的方程，與直線x=4的交點(diǎn)M，N，可得MN的中點(diǎn)，圓的方程，令y=0，求得與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用弦長公式，結(jié)合${x_0}∈（\frac{8}{5}，2]$．即可得到所求最大值；
方法二、設(shè)P（x₀，y₀）（0＜x₀≤2），A（0，-1），B（0，1），求出直線PA，PB的方程，與直線x=4的交點(diǎn)M，N，以MN為直徑的圓與x軸相交，可得y_My_N＜0，求得${x_0}∈（\frac{8}{5}，2]$，再由弦長公式，可得最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得，2b=2，即b=1，
$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得$\frac{{{a^2}-1}}{a^2}=\frac{3}{4}$，
解得a²=4，
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）方法一、設(shè)P（x₀，y₀）（0＜x₀≤2），A（0，-1），B（0，1），
所以${k_{PA}}=\frac{{{y_0}+1}}{x_0}$，直線PA的方程為$y=\frac{{{y_0}+1}}{x_0}x-1$，
同理：直線PB的方程為$y=\frac{{{y_0}-1}}{x_0}x+1$，
直線PA與直線x=4的交點(diǎn)為$M（4，\frac{{4（{y_0}+1）}}{x_0}-1）$，
直線PB與直線x=4的交點(diǎn)為$N（4，\frac{{4（{y_0}-1）}}{x_0}+1）$，
線段MN的中點(diǎn)$（4，\frac{{4{y_0}}}{x_0}）$，
所以圓的方程為${（x-4）^2}+{（y-\frac{{4{y_0}}}{x_0}）^2}={（1-\frac{4}{x_0}）^2}$，
令y=0，則${（x-4）^2}+\frac{16y_0^2}{x_0^2}={（1-\frac{x_0}{4}）^2}$，
因?yàn)?\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$，所以 $\frac{y_0^2-1}{x_0^2}=-\frac{1}{4}$，
所以${（x-4）^2}+\frac{8}{x_0}-5=0$，
設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)（x₁，0），（x₂，0），可得x₁=4+$\sqrt{5-\frac{8}{{x}_{0}}}$，x₂=4-$\sqrt{5-\frac{8}{{x}_{0}}}$，
因?yàn)檫@個(gè)圓與x軸相交，該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
所以 $5-\frac{8}{x_0}＞0$，解得${x_0}∈（\frac{8}{5}，2]$．
則$|{x_1}-{x_2}|=2\sqrt{5-\frac{8}{x_0}}$（$\frac{8}{5}＜{x_0}≤2$）
所以當(dāng)x₀=2時(shí)，該圓被x軸截得的弦長為最大值為2．
方法二：設(shè)P（x₀，y₀）（0＜x₀≤2），A（0，-1），B（0，1），
所以${k_{PA}}=\frac{{{y_0}+1}}{x_0}$，直線PA的方程為$y=\frac{{{y_0}+1}}{x_0}x-1$，
同理：直線PB的方程為$y=\frac{{{y_0}-1}}{x_0}x+1$，
直線PA與直線x=4的交點(diǎn)為$M（4，\frac{{4（{y_0}+1）}}{x_0}-1）$，
直線PB與直線x=4的交點(diǎn)為$N（4，\frac{{4（{y_0}-1）}}{x_0}+1）$，
若以MN為直徑的圓與x軸相交，
則$[\frac{{4（{y_0}+1）}}{x_0}-1]×$$[\frac{{4（{y_0}-1）}}{x_0}+1]＜0$，
即$\frac{16（y_0^2-1）}{x_0^2}-\frac{{4（{y_0}-1）}}{x_0}+\frac{{4（{y_0}+1）}}{x_0}-1＜0$，
即$\frac{16（y_0^2-1）}{x_0^2}+\frac{8}{x_0}-1＜0$．
因?yàn)?\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$，所以$\frac{y_0^2-1}{x_0^2}=-\frac{1}{4}$，
代入得到$5-\frac{8}{x_0}＞0$，解得${x_0}∈（\frac{8}{5}，2]$．
該圓的直徑為$|\frac{{4（{y_0}+1）}}{x_0}-1-（\frac{{4（{y_0}-1）}}{x_0}+1）|=|2-\frac{8}{x_0}|$，
圓心到x軸的距離為$\frac{1}{2}|\frac{{4（{y_0}+1）}}{x_0}-1+（\frac{{4（{y_0}-1）}}{x_0}+1）|=|\frac{{4{y_0}}}{x_0}|$，
該圓在x軸上截得的弦長為$2\sqrt{{{（1-\frac{4}{x_0}）}^2}-{{（\frac{{4{y_0}}}{x_0}）}^2}}=2\sqrt{5-\frac{8}{x_0}}，（\frac{8}{5}＜x≤2）$；
所以該圓被x軸截得的弦長為最大值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和基本量的關(guān)系，考查直線和圓相交的弦長問題，注意運(yùn)用圓的方程，以及直線和圓相交的條件，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．