2.如圖,已知拋物線C:y2=4x,為其準(zhǔn)線,過其對(duì)稱軸上一點(diǎn)P(2,0)作直線l′與拋物線交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn),連結(jié)OA、OB并延長AO、BO分別交l于點(diǎn)M、N.
(1)求$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的值;
(2)記點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),設(shè)P分有向線段$\overrightarrow{AB}$所成的比為λ,
且$\overrightarrow{PQ}$⊥($\overrightarrow{QA}$+μ$\overrightarrow{QB}$),求λ+μ的值.

分析 (1)設(shè)l:x=my+2,由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$,消去x得y2-4my-8=0,利用三點(diǎn)共線,求出y3=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$,y4=-$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$,再利用向量的數(shù)量積公式,即可求$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的值;
(2)利用向量垂直,得出4[(x1+2)+μ(x2+2)]=0,再分類討論,即可得出結(jié)論.

解答 解:(1)設(shè)l:x=my+2,由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$,消去x得y2-4my-8=0.
設(shè)M(-1,y3),N(-1,y4),則y1y2=-8,x1x2=$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{4×4}$=4.
∵A,O,M 三點(diǎn)共線,
∴$\frac{{y}_{3}}{-1}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$,
∴y3=-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$,
同理可得y4=-$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=(-1,y3)•(-1,y4)=1+y3y4=1+$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-1;
(2)∵$\overrightarrow{QP}$=(4,0),$\overrightarrow{PQ}$⊥($\overrightarrow{QA}$+μ$\overrightarrow{QB}$),
∴4[(x1+2)+μ(x2+2)]=0
①AB⊥x軸時(shí),λ=1,x1=x2=2,∴μ=-1,∴λ+μ=0;
②AB不垂直于x軸時(shí),∵P分有向線段$\overrightarrow{AB}$所成的比為λ,
∴$\frac{{x}_{1}+λ{(lán)x}_{2}}{1+λ}$=2,∴λ=$\frac{2-{x}_{1}}{{x}_{2}-2}$.
∵μ=-$\frac{{x}_{1}+2}{{x}_{2}+2}$,
∴λ+μ=$\frac{2-{x}_{1}}{{x}_{2}-2}$-$\frac{{x}_{1}+2}{{x}_{2}+2}$=0,
綜上所述,λ+μ=0.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.當(dāng)x≥0,f(x)=x2-3x+4,f(x)為偶函數(shù),則f(x)的解析式為( 。
A.f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3x+4(x<0)}\\{{x}^{2}-3x+4(x≥0)}\end{array}\right.$B.f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x+4(x<0)}\\{{x}^{2}+3x+4(x≥0)}\end{array}\right.$
C.f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3x-4(x<0)}\\{{x}^{2}-3x-4(x≥0)}\end{array}\right.$D.f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x-4(x<0)}\\{{x}^{2}+3x-4(x≥0)}\end{array}\right.$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

19.從7名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選出5人,分別求符合下列條件的選法各有多少種?
(1)A,B同學(xué)必須當(dāng)選;
(2)A,B同學(xué)都不當(dāng)選;
(3)A,B同學(xué)不全當(dāng)選;
(4)至少有2名女同學(xué)當(dāng)選;
(5)選出3名男同學(xué)和2名女同學(xué),分別擔(dān)任體育委員、文娛委員等五種不同的工作,但體育委員必須由男同學(xué)擔(dān)任,文娛委員必須由女同學(xué)擔(dān)任.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.設(shè)集合A={0,1,2,3},B={x|x2-3x<0},則A∩B等于( 。
A.{0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{2}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.設(shè)函數(shù)f(x)=-lnx+$\frac{1}{2}$ax2+(1-a)x+$\frac{1}{2}$a-1(a∈R)
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)>0在x∈(0,1)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

7.2016年1月1日起全國統(tǒng)一實(shí)施全面兩孩政策.為了解適齡民眾對(duì)放開生育二胎政策的態(tài)度,某市選取70后和80后作為調(diào)查對(duì)象,隨機(jī)調(diào)查了100位,得到數(shù)據(jù)如表:
生二胎不生二胎合計(jì)
70后301545
80后451055
合計(jì)7525100
(Ⅰ)以這100個(gè)人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該市的總體數(shù)據(jù),且以頻率估計(jì)概率,若從該市70后公民中隨機(jī)抽取3位,記其中生二胎的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù),是否有90%以上的把握認(rèn)為“生二胎與年齡有關(guān)”,并說明理由.
參考數(shù)據(jù):
P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.005
k2.0722.7063.8415.0246.6357.879
(參考公式:${K^2}=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

14.已知橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a>b>0)的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,橢圓C與y軸交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)P在y軸的右側(cè),直線PA,PB與直線x=4交于M,N兩點(diǎn),若以MN為直徑的圓與x軸交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍及|EF|的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

11.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,∠CAD=$\frac{π}{4}$,AC=7,cos∠ADB=-$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$.
(Ⅰ)求sinC的值;
(Ⅱ)若BD=10,求△ABD的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

12.函數(shù)f(x)=sin(2x-$\frac{π}{6}$)的圖象( 。
A.關(guān)于直線x=$\frac{π}{12}$對(duì)稱B.關(guān)于直線x=$\frac{5π}{12}$對(duì)稱
C.關(guān)于點(diǎn)($\frac{π}{12}$,0)對(duì)稱D.關(guān)于點(diǎn)($\frac{5π}{12}$,0)對(duì)稱

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