【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求曲線的參數(shù)方程與直線的普通方程;
(2)設(shè)點(diǎn)過(guò)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)和點(diǎn)為直線上的點(diǎn),且滿足為等邊三角形,求邊長(zhǎng)的取值范圍.
【答案】(1):(為參數(shù),),:;(2)
【解析】
(1)利用公式即可容易化簡(jiǎn)曲線的方程為直角坐標(biāo)方程,再寫出其參數(shù)方程即可;利用消參即可容易求得直線的普通方程;
(2)設(shè)出的坐標(biāo)的參數(shù)形式,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線距離的范圍問(wèn)題,利用三角函數(shù)的值域求解即可容易求得結(jié)果.
(1)曲線的極坐標(biāo)方程為,
故可得,則,
整理得,也即,
由,則可得,
故其參數(shù)方程為(為參數(shù),);
又直線的參數(shù)方程為,
故可得其普通方程為.
(2)不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,
則點(diǎn)到直線的距離
,,
容易知在區(qū)間的值域?yàn)?/span>,
故可得.
則三角形的邊長(zhǎng)為,故其范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD是正方形,AE⊥平面ABCD,PD∥AE,PD=AD=2EA=2,G,F,H分別為BE,BP,PC的中點(diǎn).
(1)求證:平面ABE⊥平面GHF;
(2)求直線GH與平面PBC所成的角θ的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上,平面,,,,,則球的半徑為______;若是的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作球的截面,則截面面積的最小值是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】嫦娥四號(hào)任務(wù)經(jīng)過(guò)探月工程重大專項(xiàng)領(lǐng)導(dǎo)小組審議,通過(guò)并且正式開(kāi)始實(shí)施,如圖所示.假設(shè)“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后,在月球附近一點(diǎn)變軌進(jìn)入以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行,之后衛(wèi)星在點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng),則下列關(guān)系中正確的是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某項(xiàng)針對(duì)我國(guó)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的研究中,列出各個(gè)學(xué)段每個(gè)主題所包含的條目數(shù)(如下表),下圖是統(tǒng)計(jì)表的條目數(shù)轉(zhuǎn)化為百分比,按各學(xué)段繪制的等高條形圖,由圖表分析得出以下四個(gè)結(jié)論,其中錯(cuò)誤的是( )
A.除了“綜合實(shí)踐”外,其它三個(gè)領(lǐng)域的條目數(shù)都隨著學(xué)段的升高而增加,尤其“圖象幾何” 在第三學(xué)段增加較多,約是第二學(xué)段的倍.
B.所有主題中,三個(gè)學(xué)段的總和“圖形幾何”條目數(shù)最多,占50%,綜合實(shí)踐最少,約占4% .
C.第一、二學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”條目數(shù)最多,第三學(xué)段“圖形幾何”條目數(shù)最多.
D.“數(shù)與代數(shù)”條目數(shù)雖然隨著學(xué)段的增長(zhǎng)而增長(zhǎng),而其百分比卻一直在減少.“圖形幾何”條目數(shù),百分比都隨學(xué)段的增長(zhǎng)而增長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)調(diào)查防疫期間學(xué)生居家每天鍛煉時(shí)間情況,從高一、高二年級(jí)學(xué)生中分別隨機(jī)抽取100人,由調(diào)查結(jié)果得到如下的頻率分布直方圖:
(Ⅰ)寫出頻率分布直方圖(高一)中的值;記高一、高二學(xué)生100人鍛煉時(shí)間的樣本的方差分別為,,試比較,的大。ㄖ灰髮懗鼋Y(jié)論);
(Ⅱ)估計(jì)在高一、高二學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人,恰有一人的鍛煉時(shí)間大于20分鐘的概率;
(Ⅲ)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,高二學(xué)生鍛煉時(shí)間服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差,且每名學(xué)生鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立,設(shè)表示從高二學(xué)生中隨機(jī)抽取10人,其鍛煉時(shí)間位于的人數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.
注:①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表,計(jì)算得
②若,則,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解某初中學(xué)校學(xué)生睡眠狀況,在該校全體學(xué)生中隨機(jī)抽取了容量為120的樣本,統(tǒng)計(jì)睡眠時(shí)間(單位:).經(jīng)統(tǒng)計(jì),時(shí)間均在區(qū)間內(nèi),將其按,,,,,分成6組,制成如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)世界衛(wèi)生組織表明,該年齡段的學(xué)生睡眠時(shí)間服從正態(tài)分布,其標(biāo)準(zhǔn)為:該年齡段的學(xué)生睡眠時(shí)間的平均值,方差.根據(jù)原則,用樣本估計(jì)總體,判斷該初中學(xué)校學(xué)生睡眠時(shí)間在區(qū)間上是否達(dá)標(biāo)?
(參考公式:,,)
(2)若規(guī)定睡眠時(shí)間不低于為優(yōu)質(zhì)睡眠.已知所抽取的這120名學(xué)生中,男、女睡眠質(zhì)量人數(shù)如下列聯(lián)表所示:
優(yōu)質(zhì)睡眠 | 非優(yōu)質(zhì)睡眠 | 合計(jì) | |
男 | 60 | ||
女 | 19 | ||
合計(jì) |
將列聯(lián)表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)睡眠與性別有關(guān)系,并說(shuō)明理由;
下面的臨界值表僅供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓E: 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1),且離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),在橢圓短軸上有兩點(diǎn)M,N滿足,直線PM、PN分別交橢圓于A,B.探求直線AB是否過(guò)定點(diǎn),如果經(jīng)過(guò)定點(diǎn)請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo),如果不經(jīng)過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是公差為的等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)是公差為的等差數(shù)列, 是數(shù)列的前項(xiàng)和,
(1)若,求;
(2)已知,且對(duì)任意的,有恒成立,求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(3)若,且存在正整數(shù),使得,求當(dāng)最大時(shí),數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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