Question

15．已知過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，斜率為2$\sqrt{2}$的直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，且|AB|=$\frac{9}{2}$
（Ⅰ）求該拋物線的方程
（Ⅱ）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)出直線AB的方程，代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和拋物線的定義，可得$\frac{5}{4}$p+p=$\frac{9}{2}$，解方程可得p，進(jìn)而得到拋物線的方程；
（Ⅱ）求得交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，由向量的加減運(yùn)算，可得C的坐標(biāo)，代入拋物線的方程，即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為（$\frac{p}{2}$，0），
則直線AB的方程為y=2$\sqrt{2}$（x-$\frac{p}{2}$），代入拋物線的方程，
可得4x²-5px+p²=0，可得x₁+x₂=$\frac{5}{4}$p，
由拋物線的定義可得|AB|=x₁+x₂+p，
由已知，得$\frac{5}{4}$p+p=$\frac{9}{2}$，
解得p=2，
即拋物線的方程為y²=4x；
（Ⅱ）由p=2可得2x²-5x+2=0，
可得x=2或$\frac{1}{2}$，
即有A（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$），B（2，2$\sqrt{2}$），
設(shè)$\overrightarrow{OC}$=（x₃，y₃）=（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$）+λ（2，2$\sqrt{2}$）
=（$\frac{1}{2}$+2λ，-$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$λ），
即有x₃=$\frac{1}{2}$+2λ，y₃=-$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$λ，
由y₃²=4x₃，可得[$\sqrt{2}$（2λ-1）]²=4（$\frac{1}{2}$+2λ），
即（2λ-1）²=1+4λ，
解得λ=0或2．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程的求法，注意運(yùn)用直線方程和拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和拋物線的定義，考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．