Question

4．已知$cos2α=\frac{1}{3}（{cosα+sinα}）$，則cosα-sinα=$\frac{1}{3}$或±$\sqrt{2}$，sin2α=$\frac{8}{9}$或-1．

Answer 1

分析 由條件利用二倍角公式可得（cosα+sinα）•（cosα-sinα）=$\frac{1}{3}$（cosα-sinα），分cosα+sinα=0和cosα+sinα≠0兩種情況，分別求得cosα和sinα的值，從而得出結(jié)論．

解答 解：①已知 （cosα+sinα）•（cosα-sinα）=$cos2α=\frac{1}{3}（{cosα+sinα}）$，
若cosα+sinα≠0，則cosα-sinα=$\frac{1}{3}$．
若cosα+sinα=0，則cosα=-sinα，tanα=-1，
此時，cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sinα=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosα-sinα=$\sqrt{2}$；
或cosα=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosα-sinα=-$\sqrt{2}$．
綜合可得，cosα-sinα=$\frac{1}{3}$或±$\sqrt{2}$．
②當(dāng)cosα-sinα=$\frac{1}{3}$，則由cos²α+sin²α=1，可得cosα=$\frac{1+\sqrt{17}}{6}$，sinα=$\frac{-1+\sqrt{17}}{6}$；
或cosα=$\frac{1-\sqrt{17}}{6}$，sinα=$\frac{-1-\sqrt{17}}{6}$，
∴sin2α=2sinαcosα=$\frac{8}{9}$．
當(dāng)cosα+sinα=0，sin2α=2sinαcosα=-1，綜合可得sin2α=$\frac{8}{9}$或-1，
故答案為：$\frac{1}{3}$或$±\sqrt{2}$； $\frac{8}{9}$或-1．

點評 本題主要考查同角三角的基本關(guān)系，二倍角公示的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．