Question

（2013•青島一模）已知函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，5），且對(duì)任意的x∈R都有f（x+1）=f（x）+3，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

3n，n=2k-1 f(an)，n=2k

（k為正整數(shù)）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求a₁+3a₃+5a₅+…+（2n-1）a_2n-1（n∈N^*）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x+1）=f（x）+3⇒f（n+1）-f（n）=3，從而可知{f（n）}是以3為公差的等差數(shù)列，f（1）=5，結(jié)合題意a_n+1=

3n，n=2k-1 f(an)，n=2k

（k為正整數(shù)）可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令T=a₁+3a₃+5a₅+…+（2n-1）a_2n-1，可求得T=[1+3×3²+5×3⁴+…+（2n-1）×3^2n-2]+2（n²-1），利用錯(cuò)位相減法即可求得其和．

解答：解：（Ⅰ）由題意知f（1）=5，又對(duì)任意的x∈R都有f（x+1）=f（x）+3，所以有f（n+1）-f（n）=3，從而{f（n）}是以f（1）=5為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，
故f（n）=5+3（n-1）=3n+2…（2分）
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=3^n-1，
當(dāng)n為奇數(shù)且n≥3時(shí)，a_n=f（a_n-1）=3a_n-1+2=3•3^n-2+2=3^n-1+2，
綜上，a_n=

1，n=1 3n-1，n=2k 3n-1+2，n=2k+1

（k為正整數(shù)）…（6分）
（Ⅱ）a₁+3a₃+5a₅+…+（2n-1）a_2n-1
=1+3×（3²+2）+5×（3⁴+2）+…+（2n-1）×（3^2n-2+2）
=[1+3×3²+5×3⁴+…+（2n-1）×3^2n-2]+2[3+5+7+…+（2n-1）]
=[1+3×3²+5×3⁴+…+（2n-1）×3^2n-2]+2（n²-1）
令T=1+3×3²+5×3⁴+…+（2n-1）×3^2n-2
則9T=3²+3×3⁴+5×3⁶+…+（2n-1）×3²ⁿ
兩式相減：
-8T=1+2（3²+3⁴+3⁶+…+3^2n-2）-（2n-1）×3²ⁿ，
T=（

n

4

-

5

32

）•3²ⁿ+

5

32

．
所以a₁+3a₃+5a₅+…+（2n-1）a_2n-1=（

n

4

-

5

32

）•3²ⁿ+2n²-

59

32

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，突出考查錯(cuò)位相減法求和，考查分析與綜合運(yùn)算能力，屬于難題．