Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)B與A（-1，1）點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對稱，P為動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AP、BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M、N，問是否存在點(diǎn)P，使AN∥BM，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）因?yàn)辄c(diǎn)B與A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，所以點(diǎn)B得坐標(biāo)為（1，-1）．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則
∵直線AP與BP的斜率之積等于，
∴
化簡得x²+2y²=3（x≠±1）．
故動(dòng)點(diǎn)P軌跡方程為x²+2y²=3（x≠±1）；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（a，b），則直線AP：y=
直線BP：y=
直線AP、BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M、N，
所以，點(diǎn)M（3，），點(diǎn)N（3，）
因?yàn)锳N∥BM，所以=，所以a=
因?yàn)橹本�AP與BP的斜率之積等于，
所以，所以b=-或者b=
所以，存在點(diǎn)P （，）或者（，-）
分析：（I）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），先分別求出直線AP與BP的斜率，再利用直線AP與BP的斜率之間的關(guān)系即可得到關(guān)系式，化簡后即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出直線方程，從而可得M，N的坐標(biāo)，根據(jù)AN∥BM，直線AP與BP的斜率之積等于，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查直線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．