Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC=2，BD=2 ，且AC，BD交于點(diǎn)O，E是PB上任意一點(diǎn)．

（1）求證：AC⊥DE
（2）已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值為 ，若E為PB的中點(diǎn)，求EC與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因?yàn)镈P⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以BD⊥AC，

又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，

因?yàn)镈E平面PBD，∴AC⊥DE．

（2）解：連接OE，在△PBD中，EO∥PD，

所以EO⊥平面ABCD，分別以O(shè)A，OB，OE所在直線為x軸，y軸，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)PD=t，則A（1，0，0），B（0， ，0），C（﹣1，0，0），

E（0，0， ），P（0，﹣ ，t），

設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為 =（x，y，z），

則 ，令y=1，得 =（ ，1， ），

平面PBD的法向量 =（1，0，0），

因?yàn)槎�面角A﹣PB﹣D的余弦值為 ，

所以|cos＜ ， ＞|= = ，

所以t=2 或t=﹣2（ 舍）

P（0，﹣ ，2 ），E（0，0，1）， =（ ，1，1），

=（﹣1，0，﹣ ）

∴sinθ=| |= ，

∴EC與平面PAB所成角θ的正弦值為 ．

【解析】（1）由PD垂直面ABCD，可得PD⊥BD，根據(jù)底面ABCD為菱形，可得到AC⊥BD，即可得到AC⊥面PBD，從而得到AC⊥DE，（2）連接OE，在△PBD中，EO∥PD，所以EO⊥平面ABCD，分別以O(shè)A，OB，OE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用法向量法即可得出結(jié)果.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能正確解答此題．