Question

2．二次函數(shù)y=ax²+x+1（a＞0）的圖象與x軸兩個交點的橫坐標分別為x₁，x₂．
（1）證明：（1+x₁）（1+x₂）=1；
（2）證明：x₁＜-1，x₂＜-1；
（3）若x₁，x₂滿足不等式|lg$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$|≤1，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)韋達定理求出x₁+x₂，x₁•x₂的值，證明即可；
（2）由△＞0，求出a的范圍，從而證出結(jié)論；
（3）求出x₂=-$\frac{{x}_{1}}{1{+x}_{1}}$，由$\frac{1}{10}$≤$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$≤10，得到$\frac{1}{10}$≤-（1+x₁）≤10，求出a的范圍即可．

解答 （1）證明：由題意得：
x₁+x₂=-$\frac{1}{a}$，x₁•x₂=$\frac{1}{a}$，
∴（1+x₁）（1+x₂）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=1；
（2）證明：由△=1-4a＞0，解得：a＜$\frac{1}{4}$，
∵（1+x₁）（1+x₂）=1＞0，
而（1+x₁）（1+x₂）=x₁+x₂+2=-$\frac{1}{a}$+2＜-4+2＜0，
∴1+x₁＜0，1+x₂＜0，
故x₁＜-1，x₂＜-1；
（3）解：x₂=-$\frac{{x}_{1}}{1{+x}_{1}}$，|lg$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$|≤1，
∵$\frac{1}{10}$≤$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$≤10，
∴$\frac{1}{10}$≤-（1+x₁）≤10，
∴-11≤x₁≤-$\frac{11}{10}$，
a=$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$=-（$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}}$）=-${（\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$，
當$\frac{1}{{x}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$時，
a的最大值是$\frac{1}{4}$，
當$\frac{1}{{x}_{1}}$=-$\frac{1}{11}$時，
a的最小值是$\frac{10}{121}$，
故a的范圍是[$\frac{10}{121}$，$\frac{1}{4}$]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題．