Question

19．已知向量$\overrightarrow m=（sinx，cos（x+\frac{π}{4}））$，$\overrightarrow n=（cosx，-cos（x+\frac{π}{4}））$，且$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)$g（x）=f（x）-2{sin^2}x-m+\frac{3}{2}$在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上有零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積運算性質(zhì)、倍角公式、和差公式可得f（x），再利用直線函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）g（x）有零點，即函數(shù)$y=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$與y=m圖象有交點，求出函數(shù)$y=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$的值域即可得出．

解答 解：（1）由$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n=sinxcosx-{cos^2}（x+\frac{π}{4}）$=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}[1+cos（2x+\frac{π}{2}）]$=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sin2x$=$sin2x-\frac{1}{2}$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
得$kπ-\frac{π}{4}≤x≤kπ+\frac{π}{4}，k∈Z$，
則f（x）的遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{4}，kπ+\frac{π}{4}]，k∈Z$．
（2）$g（x）=sin2x-\frac{1}{2}-（1-cos2x）-m+\frac{3}{2}=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-m$，g（x）有零點，即函數(shù)$y=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$與y=m圖象有交點，
函數(shù)$y=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$在區(qū)間上的值域為$[-1，\sqrt{2}]$，
由圖象可得，m的取值范圍為$[-1，\sqrt{2}]$．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、倍角公式、和差公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點轉化為函數(shù)圖象的交點，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．