Question

4．動(dòng)點(diǎn)P在拋物線x²=2y上，過點(diǎn)P作PQ垂直于x軸，垂足為Q，設(shè)$\overrightarrow{PM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}$．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)S（-4，4），過N（4，5）的直線l交軌跡E于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線SA，SB的斜率分別為k₁，k₂，求|k₁-k₂|的最小值．

Answer 1

分析 （I）設(shè)M的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入整理可求得M的軌跡方程；
（II）直線l過點(diǎn)N，設(shè)l的方程為：y=k（x-4）+5，與E聯(lián)立，整理得：x²-4kx+16k-20=0，根據(jù)韋達(dá)定理，分類討論l是否經(jīng)過點(diǎn)S，并分別求得直線的斜率，即可求|k₁-k₂|的最小值．

解答 解：（I）設(shè)點(diǎn)M（x，y），P（x₀，y₀），則由$\overrightarrow{PM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PQ}$，得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=x\\{y_0}=2y\end{array}\right.$，
因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線x²=2y上，所以，x²=4y．（4分）
（II）由已知，直線l的斜率一定存在，
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-4）+5\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，
得，x²-4kx+16k-20=0，
由韋達(dá)定理，得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=4k\\{x_1}{x_2}=16k-20\end{array}\right.$．（6分）
當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)S即x₁=-4或x₂=-4時(shí)，
當(dāng)x₁=-4時(shí)，直線SA的斜率看作拋物線在點(diǎn)A處的切線斜率，
則  k₁=-2，${k_2}=\frac{1}{8}$，此時(shí)$|{{k_1}-{k_2}}|=\frac{17}{8}$；
同理，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)S重合時(shí)，$|{{k_1}-{k_2}}|=\frac{17}{8}$（學(xué)生如果沒有討論，不扣分）
直線l不經(jīng)過點(diǎn)S即x₁≠-4且x₂≠-4時(shí)∵${k_1}=\frac{{{y_1}-4}}{{{x_1}+4}}，{k_2}=\frac{{{y_2}-4}}{{{x_2}+4}}$，
∴${k_1}{k_2}=\frac{{（k{x_1}-4k+1）（k{x_2}-4k+1）}}{{（{x_1}+4）（{x_2}+4）}}$，（8分）
=$\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+（k-4{k^2}）（{x_1}+{x_2}）+16{k^2}-8k+1}}{{{x_1}{x_2}+4（{x_1}+{x_2}）+16}}$，
=$\frac{1-8k}{32k-4}=-\frac{1}{4}$，（10分）
故$|{{k_1}-{k_2}}|≥2\sqrt{|{{k_1}{k_2}}|}=2•\sqrt{\frac{1}{4}}=1$，
所以|k₁-k₂|的最小值為1．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查軌跡方程的求法，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．