Question

4．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對(duì)于任意（x₁，y₁）∈M，都存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱(chēng)集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．給出下列四個(gè)集合：
①M(fèi)={（x，y）|y=$\frac{1}{x}$}；　　     
②M={（x，y）|y=log₂x}；
③M={（x，y）|y=e^x-2；      
④M={（x，y）|y=sinx+1．
其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是③④．

Answer 1

分析 由題意可得：集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”，即滿(mǎn)足：曲線y=f（x）上過(guò)任意一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線，都存在過(guò)另一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線與之垂直．

解答 解：由題意可得：集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”，即滿(mǎn)足：曲線y=f（x）上過(guò)任意一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線，都存在過(guò)另一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線與之垂直．
①M(fèi)={（x，y）|y=$\frac{1}{x}$}，假設(shè)集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”，則存在兩點(diǎn)$（{x}_{1}，\frac{1}{{x}_{1}}）$，$（{x}_{2}，\frac{1}{{x}_{2}}）$，滿(mǎn)足$\frac{\frac{1}{{x}_{1}}}{{x}_{1}}•\frac{\frac{1}{{x}_{2}}}{{x}_{2}}$=-1，化為${x}_{1}^{2}•{x}_{2}^{2}$=-1，無(wú)解，因此假設(shè)不成立，即集合M不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”，
②M={（x，y）|y=log₂x}，（x＞0），取（1，0），則不存在點(diǎn)（x₂，log₂x₂）（x₂＞0），滿(mǎn)足1×x₂+0=0，因此集合M不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；
③M={（x，y）|y=e^x-2}，結(jié)合圖象可知：集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；
④M={（x，y）|y=sinx+1，結(jié)合圖象可知：集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．
綜上可得：只有③④是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義“垂直對(duì)點(diǎn)集”、直線垂直與斜率的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．