Question

14．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z+$\frac{1}{z}$|≤2，則|z|的取值范圍是（0，1]．

Answer 1

分析 設(shè)z=a+bi（a，b∈R），利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式把|z+$\frac{1}{z}$|≤2，化為a²+b²≤1，即可得出．

解答 解：設(shè)z=a+bi（a，b∈R），
∴|z+$\frac{1}{z}$|=$|a+bi+\frac{1}{a+bi}|$=$|（a+\frac{a}{{a}^{2}+^{2}}）+（b-\frac{{a}^{2}+^{2}}）i|$≤2，
∴$\sqrt{（a+\frac{a}{{a}^{2}+^{2}}）^{2}+（b-\frac{{a}^{2}+^{2}}）^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}+1}$≤2，
解得a²+b²≤1，
∴|z|的取值范圍是（0，1]．
故答案為：（0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．