Question

9．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸建立坐標(biāo)系，且兩個坐標(biāo)系取相等的單位長度．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{3}t\\ y=1+t\end{array}\right.$，（t是參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2．
（1）寫出直線l及圓C的普通方程；
（2）設(shè)P（1，1），直線l與圓C相交于A，B，求||PA|-|PB||的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，可得直線l的普通方程．圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2，直接求解可得圓C的普通方程．
（2）轉(zhuǎn)化直線l的參數(shù)方程為標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的形式，代入圓C利用參數(shù)的幾何意義求解即可．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{3}t\\ y=1+t\end{array}\right.$，消去參數(shù)t，
可得直線l的普通方程是$x-\sqrt{3}y+\sqrt{3}-1=0$…（2分）．
圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2，可得圓C的普通方程為x²+y²=4…（4分）
（2）直線l的參數(shù)方程可化為$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t′\\ y=1+\frac{1}{2}t′\end{array}\right.$，（t′是參數(shù)）…（6分）
代入圓C：x²+y²=4中，整理得$t{′^2}+（\sqrt{3}+1）t′-2=0$，
${t_1}′+{t_2}′=-（\sqrt{3}+1）$，t₁′t₂′=-2…（8分）
∴$|{|{PA}|-|{PB}|}|=|{|{{t_1}′}|-|{{t_2}′}|}|=|{{t_1}′+{t_2}′}|=\sqrt{3}+1$…（10分）

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，參數(shù)方程以及極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，考查計(jì)算能力．