Question

10．如圖的多面體中，ABCD為矩形，且AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE的中點，AE⊥BE．
（1）求證：AE∥平面BFD；
（2）求三棱錐E-BDC的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明AE∥平面BDF；
（2）取AB的中點O，連接EO，則EO⊥平面ABCD，EO=$\sqrt{2}$，即可求三棱錐E-BDC的體積．

解答 （1）證明：設(shè)AC∩BD=G，連接FG，易知G是AC的中點，
∵F是EC中點．
∴在△ACE中，F(xiàn)G∥AE，
∵AE?平面BFD，F(xiàn)G?平面BFD，
∴AE∥平面BFD．
（2）解：取AB的中點O，連接EO，則EO⊥平面ABCD，EO=$\sqrt{2}$，
∴三棱錐E-BDC的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2×\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題主要考查空間平行的位置關(guān)系的判斷，考查三棱錐的體積，正確運用線面平行的判定定理是關(guān)鍵．