Question

20．設(shè)x，y滿足約束條件：$\left\{{\begin{array}{l}{x≥y}\\{y≥1}\\{x+y≤4}\end{array}}\right.$的可行域?yàn)镸；
（1）在所給的坐標(biāo)系中畫出可行域M（用陰影表示，并注明邊界的交點(diǎn)）；
（2）求z=y-2x的最大值與最小值；
（3）設(shè)點(diǎn)P為圓x²+（y-3）²=1上的動點(diǎn)，Q為可行域M上的動點(diǎn)，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二元一次不等式組表示平面區(qū)域進(jìn)行作圖即可；
（2）利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求z=y-2x的最大值與最小值；
（3）利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解．

解答 解：（1）作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分三角形BCD）：
（2）由z=y-2x，得y=2x+z，
作出不等式對應(yīng)的可行域，
平移直線y=2x+z，
由平移可知當(dāng)直線y=2x+z經(jīng)過點(diǎn)D時，
直線y=2x+z的截距最大，此時z取得最值，
經(jīng)過點(diǎn)C時
直線y=2x+z的截距最小，此時z取得最小值．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x=y}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（1，1），此時z=1-2=-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即D（3，1），此時z=1-2×3=-5，
即z=y-2x的最大值為-1，最小值為-5．
（3）圓x²+（y-3）²=1的圓心為E（0，3），半徑R=1，
當(dāng)直線y=x與圓相切時，圓心到直線的距離d=$\frac{|3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
則|PQ|的最小值為d-R=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．