Question

一只漁船遭遇臺(tái)風(fēng)遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，在遇險(xiǎn)地A西南方向10 n mile的B處有一只海船收到信號(hào)立即偵察，發(fā)現(xiàn)遇險(xiǎn)船只沿南偏東75°，以9 n mile∕h的速度向前航行，漁船以21 n mile∕h的速度前往營(yíng)救，并在最短時(shí)間內(nèi)與漁船靠近．
（1）求漁船所花的最短時(shí)間；
（2）求漁船的航程；
（3）求漁船航向與BA的夾角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）可先根據(jù)題意，不難得出∠BAC=120°，已知了軍艦和漁船的速度，那么可設(shè)時(shí)間，并用時(shí)間表示出AC，BC的長(zhǎng)，已知了AB的長(zhǎng)為10，可根據(jù)余弦定理來(lái)求出時(shí)間的值．
（2）漁船的航程BC=21t；
（3）根據(jù)（1）中求出的時(shí)間，可得出AC、BC的長(zhǎng)，那么根據(jù)正弦定理即可求出漁船航向與BA的夾角的余弦值．

解答： 解：（1）設(shè)靠近漁船所需的時(shí)間為t小時(shí)，那么BC=21t（海里），AC=9t（海里），AB=10（海里），
根據(jù)余弦定理可得：BC²=AC²+AB²-2AC•AB•cos120°
∴（21t）²=100+（9t）²-2×10×9t×（-

1

2

）
化簡(jiǎn)得：36t²-9t-10=0
解得：t=

2

3

或t=-

5

12

（不合題意舍去）；
（2）漁船的航程BC=21t=14（海里），
（3）由（1）得出的時(shí)間值可得：BC=14，AC=6，AB=10
根據(jù)正弦定理可得：

6

sin∠CAB

=

14

sin120°

∴sin∠CAB=

3 3

14

．
∴cos∠CAB=

13

14

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解直角三角形中方向角的應(yīng)用問(wèn)題，畫對(duì)圖形是解題的關(guān)鍵．