Question

設(shè)是數(shù)的任意一個(gè)全排列，定義，其中.

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）求的最大值；

（Ⅲ）求使達(dá)到最大值的所有排列的個(gè)數(shù).

Answer 1

解：（Ⅰ）.

（Ⅱ）數(shù)的倍與倍分別如下：

其中較大的十個(gè)數(shù)之和與較小的十個(gè)數(shù)之和的差為，所以.

對于排列，此時(shí)，

所以的最大值為.

（Ⅲ）由于數(shù)所產(chǎn)生的個(gè)數(shù)都是較小的數(shù)，而數(shù)所產(chǎn)生的個(gè)數(shù)都是較大的數(shù)，所以使取最大值的排列中，必須保證數(shù)互不相鄰，數(shù)也互不相鄰；而數(shù)和既不能排在之一的后面，又不能排在之一的前面.設(shè)，并參照下面的符號排列△○□△○□△○□△○

其中任意填入個(gè)□中，有種不同的填法；任意填入個(gè)圓圈○中，共有種不同的填法；填入個(gè)△之一中，有種不同的填法；填入個(gè)△中，且當(dāng)與在同一個(gè)△時(shí)，既可以在之前又可在之后，共有種不同的填法，所以當(dāng)時(shí)，使達(dá)到最大值的所有排列的個(gè)數(shù)為，由輪換性知，使達(dá)到最大值的所有排列的個(gè)數(shù)為.