Question

設F₁、F₂分別是橢圓 

x2

4

+y²=1的左、右焦點，B（0，-1）．
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個動點，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（Ⅱ）若C為橢圓上異于B一點，且

BF1

=λ

CF1

，求λ的值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的方程，求出焦點的坐標，化簡

PF1

•

PF2

=

1

4

（3x²-8），結(jié)合x∈[-2，2]，求得它的最值．
（Ⅱ）設C（x₀，y₀），由

BF1

=λ

CF1

，用λ 表示 x₀，y₀，把C（x₀，y₀）代入橢圓的方程求得λ值．

解答： 解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，c=

3

，
所以，F(xiàn)₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0），
設P（x，y），則

PF1

•

PF2

=（-

3

-x，-y）•（

3

-x，-y）=x²+y²-3=x²+1-

x2

4

-3=

1

4

（3x²-8），
因為x∈[-2，2]，故當x=0，即點P為橢圓短軸端點時，

PF1

•

PF2

有最小值-2．
當x=±2，即點P為橢圓長軸端點時，

PF1

•

PF2

有最大值1．
（Ⅱ）設C（x₀，y₀），B（0，-1），F(xiàn)₁（-

3

，0），
由

BF1

=λ

CF1

，得x₀=

3 (1-λ)

λ

，y₀=-

1

λ

，
又

x02

4

+y02=1，
所以有 λ²+6λ-7=0，解得λ=-7，λ=1＞0（舍去）．

點評：本題考查橢圓的定義、標準方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)的應用，兩個向量的數(shù)量積公式，解得λ=-7把λ=1＞0舍去，是解題的易錯點．