Question

如圖，在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，側(cè)棱AA₁=

2

，M為A₁B₁的中點，則AM與平面AA₁C₁C所成角的正切值為

 

．

Answer 1

分析：以C₁點坐標原點，C₁A₁，C₁B₁，C₁C分別為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標系，分另求出直線AM的方向向量與平面AA₁C₁C的法向量，代入向量夾角公式，即可求出AM與平面AA₁C₁C所成角的正切值．

解答：解：以C₁點坐標原點，C₁A₁，C₁B₁，C₁C分別為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標系，
則∵AC=BC=1，側(cè)棱AA₁=

2

，M為A₁B₁的中點，
∴

AM

=（-

1

2

，

1

2

，-

2

），

BC

=（0，-1，0）為平面AA₁C₁C的一個法向量
設(shè)AM與平面AA₁C₁C所成角為θ，
則sinθ=|

AM • BC

| AM |•| BC |

|=

10

10

則tanθ=

1

3

故答案為：

1

3

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，其中建立坐標系，求出直線的方向向量和平面的法向量，將線面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．