Question

（2013•泉州模擬）已知F（0，1）是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓C的離心率e為

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)：M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）為橢圓C上不同的點(diǎn)，直線MN的斜率為k₁；A是滿足

OM

+

ON

=λ

OA

（λ≠0）的點(diǎn)，且直線OA的斜率為k₂．
①求k₁•k₂的值；
②若A的坐標(biāo)為（

3

2

，1），求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）依題意，可設(shè)橢圓C的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），由c=1，e=

c

a

=

1

2

，a²=b²+c²，解出即可；
（II）解法一：①由M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）且k₁存在，利用斜率計(jì)算公式和

OM

+

ON

=λ

OA

，λ≠0且k₂存在，可得k2=

y2+y1

x2+x1

，進(jìn)而得到k₁•k₂，把M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）橢圓方程，即可得到k₁•k₂的值；
②若A的坐標(biāo)為(

3

2

，1)，則k2=

2

3

，利用①可得k₁=-2．設(shè)直線MN：y=-2x+m（m∈R），與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=

3m

4

．
由

OM

+

ON

=λ

OA

，代入可得x1+x2=

3

2

λ，m=2λ．再利用△＞0，即可得到λ的取值范圍．
解法二：①設(shè)直線MN：y=k₁x+m（m∈R），M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），得若m=0，則x₁+x₂=0，由A滿足

OM

+

ON

=λ

OA

（λ∈R，λ≠0），得x_A=0，
由直線OA的斜率k₂存在，∴m≠0．與橢圓的方程聯(lián)立可得，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用滿足

OM

+

ON

=λ

OA

，及斜率的計(jì)算公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）依題意，可設(shè)橢圓C的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
由c=1，e=

c

a

=

1

2

，得a=2，
由b²=a²-c²，可得b²=3，
故橢圓C的方程為

y2

4

+

x2

3

=1．
（Ⅱ）解法一：①由M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）且k₁存在，得k1=

y2-y1

x2-x1

，
由

OM

+

ON

=λ

OA

，λ≠0且k₂存在，得k2=

y2+y1

x2+x1

，
則k1•k2=

y2+y1

x2+x1

•

y2-y1

x2-x1

=

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

．
∵M(jìn)（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在橢圓上，∴

y 2 1

4

+

x 2 1

3

=1，

y 2 2

4

+

x 2 2

3

=1，
兩式相減得

y 2 2 - y 2 1

4

+

x 2 2 - x 2 1

3

=0，

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

=-

4

3

，
∴k1•k2=-

4

3

．
②若A的坐標(biāo)為(

3

2

，1)，則k2=

2

3

，由①可得k₁=-2．
設(shè)直線MN：y=-2x+m（m∈R），
由

y=-2x+m y2 4 + x2 3 =1

得16x²-12mx+3m²-12=0，
所以x1+x2=

3m

4

．
∵

OM

+

ON

=λ

OA

，∴x1+x2=

3

2

λ，m=2λ．
又由△=（-12m）²-4•16•（3m²-12）＞0，解得-4＜m＜4，
∴-2＜λ＜2且λ≠0．
解法二：①設(shè)直線MN：y=k₁x+m（m∈R），
若m=0，則x₁+x₂=0，
由A滿足

OM

+

ON

=λ

OA

（λ∈R，λ≠0），得x_A=0，
∵直線OA的斜率k₂存在，∴m≠0．
由

y=k1x+m y2 4 + x2 3 =1

得(4+3

k

2 1

)x2+6k1mx+3m2-12=0…（*）．
∵M(jìn)（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），∴x1+x2=-

6k1m

4+3 k 2 1

．
∵y₁+y₂=k₁（x₁+x₂）+2m，A滿足

OM

+

ON

=λ

OA

，
∴直線OA的斜率k2=

y1+y2

x1+x2

=k1+

2m

x1+x2

=k1-

4+3 k 2 1

3k1

，
經(jīng)化簡(jiǎn)得k1•k2=-

4

3

．
②若A的坐標(biāo)為(

3

2

，1)，則k2=

2

3

，由①可得k₁=-2．
∴方程（*）可化為16x²-12mx+3m²-12=0，
下同解法一．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類(lèi)討論思想方法、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等．