Question

已知函數(shù)，以點為切點作函數(shù)圖像的切線，直線與函數(shù)圖像及切線分別相交于，記．

（1）求切線的方程及數(shù)列的通項；

（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）切線的方程為，數(shù)列的通項公式為；（2）詳見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由導數(shù)的幾何意義，先對函數(shù)求導，求導函數(shù)在處的函數(shù)值，即得切線的斜率，最后由直線的點斜式方程即可求得切線的方程，進一步結(jié)合已知條件可得的坐標，由兩點間的距離公式可得數(shù)列的通項；（2）首先寫出數(shù)列的前項和的表達式，根據(jù)數(shù)列通項公式的結(jié)構(gòu)特征選擇裂項相消法求和，進而可證明不等式．

試題解析：（1）對求導，得，則切線方程為：，即，易知，，

由知=．

（2）==，===＜1.

考點：1．導數(shù)的幾何意義；2．數(shù)列通項公式及前項和的求法（裂項相消法）；3．數(shù)列不等式的證明．