Question

3．已知二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)為a，且不等式f（x）＜-2x的解集為（1，3），且方程f（x）+6a=0有兩個相等的實根，則f（x）的解析式為f（x）=x²-6x+3．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=ax²+bx+c，（a＞0），由題意得方程f（x）=-2x兩個根是1，3，由韋達定理求得b=-4a-2，c=3a，可得f（x）=ax²-2（2a+1）x+3a．再根據(jù)△=4（2a+1）²-36a²=0，解得a的值，可得f（x）的解析式．

解答 解：由題意得：
設(shè)f（x）=ax²+bx+c，（a＞0），
由題意得方程f（x）=-2x兩個根是1，3，
即ax²+（b+2）x+c=0兩個根是1，3，
故由韋達定理可得-$\frac{b+2}{a}$=4，$\frac{c}{a}$=3，
∴b=-4a-2，c=3a，f（x）=ax²-2（2a+1）x+3a．
再根據(jù)方程f（x）+6a=0，
即ax²-2（2a+1）x+9a=0有兩個相等的實根，
∴△=4（2a+1）²-36a²=0，
解得a=-$\frac{1}{5}$（舍），或a=1，
∴f（x）=x²-6x+3，
故答案為：f（x）=x²-6x+3．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．