Question

19．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，已知點A（-a，0）、C（0，b），且S_△OAC=1．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，若D（a，0），且|BD|=$\frac{4}{5}$$\sqrt{17}$，求直線l的傾斜角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率求得a²=4b²，ab=2即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，利用中點坐標公式求得AB的中點M的坐標，由題意可知丨OM丨=$\frac{2}{5}$$\sqrt{17}$，即可求得直線l的傾斜角．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則a²=4b²，①
由S=$\frac{1}{2}$ab=1，則ab=2，②，解得：a=2，b=1，
∴橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：點A的坐標是（-2，0），設(shè)B（x₁，y₁），
直線l的斜率為k，則直線l的方程：y=k（x+2），
于是A，B兩點的坐標滿足方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
則x₁-2=-$\frac{16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，-2x₁=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，x₁=-$\frac{8{k}^{2}-2}{1+4{k}^{2}}$，
設(shè)AB的中點M，M（-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$），
由丨BD丨=$\frac{4}{5}$$\sqrt{17}$，即丨OM丨=$\frac{2}{5}$$\sqrt{17}$，則（-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$）²+（$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$）²=$\frac{34}{25}$，
整理得：128k⁴-111k²-17=0，解得：k²=1，即k=±1，
∴直線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，中點坐標公式，兩點之間的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．