Question

10．過點(diǎn)P（-$\sqrt{3}$，-1）的直線與曲線y=$\sqrt{1-{x^2}}$有公共點(diǎn)，則直線的斜率范圍是（　　）

• A． $[0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}]$
• B． $[0，\sqrt{3}]$
• C． $[\sqrt{3}-1，\sqrt{3}]$
• D． $[\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}，\sqrt{3}]$

Answer 1

分析 把曲線方程變形，設(shè)出過點(diǎn)點(diǎn)P（-$\sqrt{3}$，-1）且與半圓x²+y²=1（-1≤x≤1，y≥0）相切的直線的方程，由圓心到直線的距離小于或等于半徑圓的半徑求得答案．

解答 解：由y=$\sqrt{1-{x^2}}$，得x²+y²=1（-1≤x≤1，y≥0），
設(shè)過點(diǎn)P（-$\sqrt{3}$，-1）且與半圓x²+y²=1（-1≤x≤1，y≥0）相切的直線的斜率為k（k＞0），
則直線方程為y+1=k（x+$\sqrt{3}$），即kx-y+$\sqrt{3}$k-1=0．
根據(jù)直線和圓有交點(diǎn)、圓心到直線的距離小于或等于半徑可得 $\frac{|\sqrt{3}k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，
即 3k²-2$\sqrt{3}$k+1≤k²+1，解得0≤k≤$\sqrt{3}$，
過點(diǎn)P（-$\sqrt{3}$，-1）的直線過（1，0）時(shí)，k=$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$≤k≤$\sqrt{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．