Question

若函數f（x）=x³-ax²（a＞0）在區(qū)間(

20

3

，+∞)上是單調遞增函數，則使方程f（x）=1000有整數解的實數a的個數是______．

Answer 1

對f（x）求導得f'（x）=3x²+2ax
令f'（x）≥0以求原函數的單調增區(qū)間得3x²+2ax≥0，解得x≤0或x≥（2/3）a．
令f'（x）≤0以求原函數的單調減區(qū)間得3x²+2ax≤0，解得0≤x≤（2/3）a．
由題意知，區(qū)間（

20

3

，+∞）處于增區(qū)間，故

2

3

a≤

20

3

，結合已知條件a＞0，解得0＜a≤10．
令f（x）=0解得x=0或x=a．
結合上面的分析可知，在（-∞，a]上，f（x）≤0，在（a，+∞）上，f（x）＞0，所以f（x）=1000的解只能在（a，+∞）上．
由x³-ax²=1000，變形得a=x-

1000

x2

，
記g（x）=x-

1000

x2

，因為0＜a≤10，所以0＜g（x）≤10．
觀察知，g（x）在x＞0上是增函數（求導也可得出），
經試算，有g（10）=0，g（14）=8+

44

49

，g（15）=10+

5

9

，可見0＜g（x）≤10的解在區(qū)間（10，15）上，所以x的整數解只可能是11、12、13、14共4個，
而a=g（x），g（x）為增函數，所以相應地，a值也只有4個
故答案為4