Question

14．設(shè)函數(shù)$f（x）=2{cos^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+\frac{1}{2}，（{x∈R}）$，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）由已知可求2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，即可得解其值域．

解答 解：（1）∵$f（x）=2{cos^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+\frac{1}{2}，（{x∈R}）$
=cos2x+1+$\sqrt{3}$sin2x+$\frac{1}{2}$
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ$-\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ$-\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．