Question

已知三個正數(shù)a，b，c滿足：2a≤b+c≤4a，-a≤b-c≤a，給出以下數(shù)值：①1；②e；③3；④π；⑤4
則其中可以作為

b

c

+

c

b

取值范圍的是

 

（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：計算題,作圖題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意，作出平面區(qū)域如圖，

c

b

的幾何意義時原點與陰影內(nèi)的點的連線的斜率，從而求出

1

3

≤

c

b

≤3；再利用換元法化

b

c

+

c

b

=

1

t

+t，借助于基本不等式及對勾函數(shù)的性質(zhì)求出

b

c

+

c

b

的取值范圍，從而得到答案．

解答： 解：滿足條件的點（b，c）構(gòu)成的可行域如圖所示，
由b+c=2a，b-c=a解得A（

3a

2

，

a

2

），
由b+c=2a，b-c=-a解得B（

a

2

，

3a

2

），
則k_OA≤

c

b

≤k_OB；
即

1

3

≤

c

b

≤3；
令t=

c

b

，則t∈[

1

3

，3]，
所以

b

c

+

c

b

=

1

t

+t≥2；
（當(dāng)且僅當(dāng)t=1時取等號）；
當(dāng)t=

1

3

時，

1

t

+t=

10

3

；
當(dāng)t=3時，

1

t

+t=

10

3

；
故

b

c

+

c

b

的取值范圍是[2，

10

3

]，
故答案為：②③④．

點評：本題考查了線性規(guī)劃的變形應(yīng)用，同時考查了基本不等式，換元法，對勾函數(shù)的性質(zhì)等，屬于難題．