Question

已知雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)是F₁（-2，0），且b²=3a²
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)l的斜率為-m，當(dāng)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的右支相交于不同的兩點(diǎn)A、B時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并證明AB的中點(diǎn)M在曲線(xiàn)（x-1）²-

y2

3

=1上．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系,雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)半焦距c和a與b的關(guān)系聯(lián)立方程求得a和b，則雙曲線(xiàn)方程可得；
（2）把直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0，判斷出直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)定有交點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積得表達(dá)式，根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)求得m的范圍．設(shè)A，B的坐標(biāo)，則可知其中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入曲線(xiàn)3（x-1）²-y²=3等式成立，可判斷出AB的中點(diǎn)在此曲線(xiàn)上．

解答： （1）解：由題意得，c=2，c²=a²+b²
∴4=a²+3a²∴a²=1，b²=3，
∴雙曲線(xiàn)方程為x²-

y2

3

=1；
（2）證明：由右焦點(diǎn)為（2，0），則直線(xiàn)l：m（x-2）+y=0，
由

y=-mx+2m 3x2-y2=3

得（3-m²）x²+4m²x-4m²-3=0，
由△＞0得4m⁴+（3-m²）（4m²+3）＞0，即12m²+9-3m²＞0，即m²+1＞0恒成立，
又

x1+x2= 4m2 m2-3 ＞0 x1x2= 4m2+3 m2-3 ＞0

∴m²＞3∴m∈（-∞，-

3

）∪（

3

，+∞），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x1+x2

2

=

2m2

m2-3

，

y1+y2

2

=-

2m3

m2-3

+2m=

-6m

m2-3

，
∴AB中點(diǎn)M（

2m2

m2-3

，-

6m

m2-3

）
∵3（

2m2

m2-3

-1）²-

36m2

(m2-3)2

=3×

(m2+3)2

(m2-3)2

-

36m2

(m2-3)2

=3•

m4+6m2+9-12m2

(m2-3)2

=3
∴AB的中點(diǎn)M在曲線(xiàn)（x-1）²-

y2

3

=1上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，注意判別式大于0，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．