Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知cos（α-β）=，cos（α+β）=，0＜α＜β≤，求f（β）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為 2sin（x-），令 2kπ-≤x-≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可得到函數(shù)的增區(qū)間．
（Ⅱ）由已知條件，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin（α-β）=-，sin（α+β）=．再根據(jù)cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]，利用兩角差的余弦公式求得結(jié)果，可得2β=π，從而求得f（β）=2sin（β-） 的值．
解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)=sin（x-）-cos（x+）
=2sin（x-）．
令 2kπ-≤x-≤2kπ+，k∈z，求得 2kπ-≤x≤2kπ+，k∈z，
故函數(shù)的增區(qū)間為[2kπ-，2kπ+]，k∈z．
（Ⅱ）已知cos（α-β）=，cos（α+β）=，0＜α＜β≤，
∴sin（α-β）=-，sin（α+β）=．
∴cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sinα+β）sin（α-β）=-+（-）=-1，
∴2β=π，∴f（β）=2sin（β-）=2sin=．
點評：本題主要考查兩角和差的正余弦公式、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．