Question

20．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁為矩形，AB=1，AA₁=$\sqrt{2}$，D為AA₁的中點，BD與AB₁交于點O，CO⊥側(cè)面ABB₁A₁，E為線段B₁C的中點．
（Ⅰ）證明：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）若OC=OA，求二面角C-AB-A₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC的中點F，連接AF，EF，則EF平行且等于AD，證明：ADEF是平行四邊形，可得AF∥DE，即可證明DE∥平面ABC；
（Ⅱ）作OM⊥AB，連接CM，則CM⊥AB，∠CMO為二面角C-AB-A₁的平面角，即可求二面角C-AB-A₁的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：取BC的中點F，連接AF，EF，則EF平行且等于AD，
∴ADEF是平行四邊形，
∴AF∥DE，
∵DE?平面ABC，AF?平面ABC，
∴DE∥平面ABC；
（Ⅱ）解：作OM⊥AB，連接CM，則CM⊥AB，∠CMO為二面角C-AB-A₁的平面角，
側(cè)面ABB₁A₁為矩形，AB=1，AA₁=$\sqrt{2}$，∴AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$=CO，OM=$\frac{\sqrt{2}}{3}$
∴CM=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴二面角C-AB-A₁的余弦值=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查二面角的余弦值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．