Question

10．△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，$\overrightarrow{m}$=$（{a，\sqrt{3}b}）$，$\overrightarrow{n}$=（sinB，cosA），$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，b=2，$a=\sqrt{7}$，則△ABC的面積為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，得sinB=-$\frac{2\sqrt{3}cosA}{\sqrt{7}}$，由正弦定理得得sinA=-$\sqrt{3}cosA$，再由同角三角函數(shù)關系式得到cosA=-$\frac{1}{2}$，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，從而sinB=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，cosB=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，從而求出sinC，由此利用△ABC的面積S=$\frac{1}{2}absinC$，能求出結果．

解答 解：∵△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，
$\overrightarrow{m}$=$（{a，\sqrt{3}b}）$，$\overrightarrow{n}$=（sinB，cosA），$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，b=2，$a=\sqrt{7}$，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$asinB+\sqrt{3}bcosA$=$\sqrt{7}sinB+2\sqrt{3}cosA$=0，
∴sinB=-$\frac{2\sqrt{3}cosA}{\sqrt{7}}$，
由正弦定理得$\frac{\sqrt{7}}{sinA}=\frac{2}{-\frac{2\sqrt{3}cosA}{\sqrt{7}}}$，整理，得sinA=-$\sqrt{3}cosA$，
∴sin²A+cos²A=4cos²A=1，
∵0＜A＜π，∴cosA=-$\frac{1}{2}$，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A=$\frac{2π}{3}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，cosB=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}）^{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，
∴sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2}{\sqrt{7}}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{7}×2×\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量垂直、正弦定理、同角三角函數(shù)關系式等知識點的合理運用．