Question

18．已知拋物線y²=4x的焦點為F，準線與x軸的交點為P，過P任作一條直線與拋物線交于A、B兩點，O為坐標原點．
（1）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值
（2）設C為拋物線上位于第一象限的任意一點，過C作直線l與拋物線相切，求證：F關于直線l的對稱點在拋物線的準線上．

Answer 1

分析 （1）由已有可得直線AB過點P（-1，0）設直線AB的方程為：x=my-1，$A（\frac{{{y_1}^2}}{4}，{y_1}）$、$B（\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$，聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達定理和向量數量積的定義，可得答案；
（2）設$C（\frac{{{y_0}^2}}{4}，{y_0}）$（y₀＞0），利用導數法，求出l的方程，解得答案．

解答 解：（1）∵拋物線y²=4x的焦點為F為（1，0），
準線與x軸的交點P為（-1，0），
故直線AB過點P（-1，0）
∴設直線AB的方程為：x=my-1，$A（\frac{{{y_1}^2}}{4}，{y_1}）$、$B（\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$
由$\left\{\begin{array}{l}x=my-1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得y²-4my+4=0，則y₁•y₂=4，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{{{y_1}^2}}{4}•\frac{{{y_2}^2}}{4}+{y_1}•{y_2}=5$
證明：（2）設$C（\frac{{{y_0}^2}}{4}，{y_0}）$（y₀＞0），
∵拋物線y²=4x在第一象限的方程可化為函數$y=2\sqrt{x}$，$y'=\frac{1}{{\sqrt{x}}}$，
∴直線l的斜率為$\frac{2}{y_0}$，直線l的方程為：$y=\frac{2}{y_0}x+\frac{y_0}{2}$
過C點作拋物線準線的垂線，垂足為D（-1，y₀），根據拋物線定義：|CF|=|CD|
線段DF的垂直平分線方程為：$y=\frac{2}{y_0}x+\frac{y_0}{2}$與直線l重合
∴F關于直線l的對稱點在拋物線的準線上．

點評 本題考查的知識點是拋物線的簡單性質，熟練掌握拋物線的性質是解答的關鍵．