Question

12．已知直線ax+by-6=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²-2x-4y=0截得的弦長為2$\sqrt{5}$，則ab的最大值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由圓的方程得到圓的半徑為$\sqrt{5}$，再由弦長為2$\sqrt{5}$得到直線過圓心，即得到a與b滿足的關系式，再利用基本不等式即可得到結論．

解答 解：圓x²+y²-2x-4y=0可化為（x-1）²+（y-2）²=5，則圓心為（1，2），半徑為$\sqrt{5}$，
又由直線ax+by-6=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²-2x-4y=0截得的弦長為2$\sqrt{5}$，
則直線ax+by-6=0（a＞0，b＞0）過圓心，即a+2b-6=0，亦即a+2b=6，a＞0，b＞0，
所以6=a+2b≥2$\sqrt{2ab}$，當且僅當a=2b時取等號，
所以ab≤$\frac{9}{2}$，所以ab的最大值為$\frac{9}{2}$，
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查的知識點是直線與圓相交的性質，基本不等式，其中根據(jù)已知條件，分析出圓心在已知直線上，進而得到a，b的關系式，是解答本題的關鍵．