Question

17．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cost}\\{y=sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），圓C₂與圓C₁外切于原點(diǎn)O，且兩圓圓心的距離|C₁C₂|=3，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求圓C₁和圓C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）過點(diǎn)O的直線l₁、l₂與圓C₂異于點(diǎn)O的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A和點(diǎn)D，與圓C₁異于點(diǎn)O的交點(diǎn)分別為C和B，且l₁⊥l₂，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出兩圓的普通方程，再化為極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)出l₁，l₂的參數(shù)方程，分別代入兩圓方程得出OA，OB，OC，OD的長(zhǎng)，得到四邊形的面積關(guān)于l₁的傾斜角α的函數(shù)解析式，利用α的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最大值．

解答 解：（1）圓C₁的普通方程為（x+1）²+y²=1，∴圓C₁的圓心為C₁（-1，0），半徑r₁=1．
圓C₁的一般方程為：x²+y²+2x=0，
∴圓C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²+2ρcosθ=0，即ρ=-2cosθ．
∵圓C₂與圓C₁外切于原點(diǎn)O，且兩圓圓心的距離|C₁C₂|=3，
∴圓C₂的圓心C₂（2，0），半徑r₂=2．
∴圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+y²=4，化為一般式方程為：x²+y²-4x=0，
∴圓C₂的極坐標(biāo)方程為ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
（2）設(shè)直線l₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)0$＜α＜\frac{π}{2}$），l₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-tsinα}\\{y=tcosα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
把$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$代入x²+y²-4x=0得t²-4tcosα=0，∴|OA|=4cosα，
同理可得|OB|=2sinα，|OC|=2cosα，|OD|=4sinα，
∵AC⊥BD，
∴S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$（OA+OC）（OB+OD）=18sinαcosα=9sin2α．
∴當(dāng)$α=\frac{π}{4}$時(shí)，四邊形ABCD的面積取得最大值9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．