Question

20．已知關于x的方程x²+（1+a）x+1+a+b=0（a，b∈R）的兩根分別為x₁，x₂且-1＜x₁＜1＜x₂＜2，則$\frac{a}$的取值范圍是（-$\frac{5}{4}$，1）．

Answer 1

分析 設f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b，則由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=3+2a+b＜0}\\{f（2）=7+3a+b＞0}\\{f（-1）=1+b＞0}\end{array}\right.$，利用簡單的線性規(guī)劃的知識求得目標函數(shù)z的范圍．

解答 解：設f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b，則由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=3+2a+b＜0}\\{f（2）=7+3a+b＞0}\\{f（-1）=1+b＞0}\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{2a+b＜-3}\\{3a+b＞-7}\\{b＞-1}\end{array}\right.$，畫出可行域，如圖△ABC的內(nèi)部區(qū)域，
則目標函數(shù)z=$\frac{a}$表示可行域內(nèi)的點（a，b），
與原點（0，0）連線的斜率．
求得A（-2，-1）、B（-1，-1）、C（-4，5），
故0≥$\frac{a}$＞K_OC，或0≤$\frac{a}$＜K_OB，
即 0≥$\frac{a}$＞-$\frac{5}{4}$，或0≤$\frac{a}$＜1，
故答案為：（-$\frac{5}{4}$，1）．

點評 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關系，簡單的線性規(guī)劃，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．