Question

10．下列幾個命題：
①函數(shù)$y=\sqrt{{x}^{2}-1}+\sqrt{1-{x}^{2}}$是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)；
②方程x²+（a-3）x+a=0的有一個正實根，一個負實根，a＜0；
③f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＜0時，f（x）=2x²+x-1，則x≥0時，f（x）=-2x²+x+1
④函數(shù)y=$\frac{3-{2}^{x}}{{2}^{x}+2}$的值域是（$-1，\frac{3}{2}$）．
其中正確的有（　　）

• A． ②④
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ①②③

Answer 1

分析 求出函數(shù)的定義域，把原函數(shù)化簡后判斷①；
由方程x²+（a-3）x+a=0有一個正實根，一個負實根求出a的取值范圍判斷②；
根據(jù)定義在R上的奇函數(shù)有f（0）=0判斷③；
換元后求出函數(shù)y=$\frac{3-{2}^{x}}{{2}^{x}+2}$的值域判斷④．

解答 解：①由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1≥0}\\{1-{x}^{2}≥0}\end{array}\right.$，得x=±1，∴$y=\sqrt{{x}^{2}-1}+\sqrt{1-{x}^{2}}$=0（x=±1），則函數(shù)$y=\sqrt{{x}^{2}-1}+\sqrt{1-{x}^{2}}$既是偶函數(shù)，又是奇函數(shù)，①錯誤；
②若方程x²+（a-3）x+a=0有一個正實根，一個負實根，則$\left\{\begin{array}{l}{（a-3）^{2}＞0}\\{a＜0}\end{array}\right.$，解得a＜0，②正確；
③f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則x=0時，f（0）=0，③錯誤；
④函數(shù)y=$\frac{3-{2}^{x}}{{2}^{x}+2}$=$-\frac{{2}^{x}+2-5}{{2}^{x}+2}=\frac{5}{{2}^{x}+2}-1$，
∵2^x＞0，∴2^x+2＞2，則$0＜\frac{5}{{2}^{x}+2}＜\frac{5}{2}$，函數(shù)y=$\frac{3-{2}^{x}}{{2}^{x}+2}$的值域是（$-1，\frac{3}{2}$），④正確．
故選：A．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，訓練了利用換元法求函數(shù)的值域，是中檔題．