Question

5．試求一個正數(shù)，使它的整數(shù)部分是小數(shù)部分和這個正數(shù)自身的等比中項．

Answer 1

分析 設(shè)該數(shù)整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則該數(shù)是（a+b），可得a²=b（a+b），由一元二次方程的知識可得．

解答 解：設(shè)該數(shù)整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，
其中ab均為正數(shù)，且a為整數(shù)，b＜1，
則該數(shù)是（a+b），由題意可得a²=b（a+b），
整理可得關(guān)于b的一元二次方程b²+ab-a²=0，
解得b=$\frac{-a+\sqrt{5}a}{2}$，或b=$\frac{-a-\sqrt{5}a}{2}$（舍去）
∵0＜b＜1，∴0＜$\frac{-a+\sqrt{5}a}{2}$＜1，解得0＜a＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
∵a為整數(shù)，∴a=1，b=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
∴此正數(shù)為1+$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

點評 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及一元二次方程的根和分類討論，屬中檔題．