Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，且滿足3S_n+4a_n-1=5a_n+3S_n-1（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{（a}_{n}+1）{（a}_{n+1}+1）}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1化簡(jiǎn)可知a_n=2a_n-1（n≥2），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項(xiàng)可知b_n=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵3S_n+4a_n-1=5a_n+3S_n-1（n≥2），
∴3a_n+4a_n-1=5a_n，即a_n=2a_n-1（n≥2），
又∵a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，
于是其通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{{a}_{n}}{{（a}_{n}+1）{（a}_{n+1}+1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，
則T_n=$\frac{1}{2+1}$-$\frac{1}{{2}^{2}+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+1}$-$\frac{1}{{2}^{3}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．