Question

（本小題滿分12分）

如圖：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=,E、F分別為線段PD和BC的中點．

(Ⅰ) 求證：CE∥平面PAF；

(Ⅱ) 在線段BC上是否存在一點G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°？若存在，試確定G的位置；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）取PA中點為H，連結CE、HE、FH，證出HE∥AD,,

由ABCD是平行四邊形，且F為線段BC的中點 推出FC∥AD,，

從而進一步得出CE∥平面PAF；

（2）線段BC上存在一點G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°點G即為B點

【解析】

試題分析：證明（1）取PA中點為H，連結CE、HE、FH，

因為H、E分別為PA、PD的中點，所以HE∥AD,,

因為ABCD是平行四邊形，且F為線段BC的中點   所以FC∥AD,

所以HE∥FC, 四邊形FCEH是平行四邊形    所以EC∥HF

又因為 

所以CE∥平面PAF        ……………4分

（2）因為四邊形ABCD為平行四邊形且∠ACB＝90°，

所以CA⊥AD      又由平面PAD⊥平面ABCD可得

CA⊥平面PAD     所以CA⊥PA    

由PA=AD=1，PD=可知，PA⊥AD…………5分                   

所以可建立如圖所示的平面直角坐標系A-xyz

因為PA=BC=1，AB=所以AC=1         所以

假設BC上存在一點G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°，

設點G的坐標為（1，a，0），    所以

設平面PAG的法向量為

則令 所以

又

設平面PCG的法向量為

則令所以       ……………9分

因為平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°，所以

所以又所以                      ……………11分

所以線段BC上存在一點G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°點G即為B點……12分

考點：本題主要考查立體幾何中的平行關系、垂直關系，角的計算。

點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟。本題利用向量簡化了證明過程。把證明問題轉化成向量的坐標運算，這種方法帶有方向性。