Question

設(shè)點(diǎn)P，M，N分別在函數(shù)y=2x+2，y=

4x-x2

，y=x+3的圖象上，且

MN

=2

PN

，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，由

MN

=2

PN

，可得點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)．設(shè)M（x₁，y₁），P（x，y），N（x₂，y₂）．可得x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，y1=

4x1- x 2 1

，（0≤x₁≤4），y₂=x₂+3，y=2x+2．化為2x=

4x1- x 2 1

-1-x₁（0≤x₁≤4）．
令f（t）=

4t-t2

-1-t（0≤t≤4）．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，即可得出．

解答： 解：如圖所示，
∵

MN

=2

PN

，
∴點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)．
設(shè)M（x₁，y₁），P（x，y），N（x₂，y₂）．
∴x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，y1=

4x1- x 2 1

，（0≤x₁≤4），
y₂=x₂+3，y=2x+2．
化為2x=

4x1- x 2 1

-1-x₁（0≤x₁≤4）．
令f（t）=

4t-t2

-1-t（0≤t≤4）．
f′（t）=

2-t

4t-t2

-1，
當(dāng)2≤t≤4時(shí)，f′（t）＜0，函數(shù)f（t）單調(diào)遞減．
當(dāng)0≤t＜2時(shí)，f′（t）=0，解得t=2±

2

，則當(dāng)0≤t＜2-

2

時(shí)，函數(shù)f（t）單調(diào)遞增；
當(dāng)2-

2

＜t＜2時(shí)，函數(shù)f（t）單調(diào)遞減．
而極大值即最大值f(2-

2

)=2

2

-3，又f（0）=-1，f（4）=-5．
∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為[-

5

2

，

2 2 -3

2

]．
故答案為：[-

5

2

，

2 2 -3

2

]．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、向量的共線、分類討論思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．