Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（1）若曲線y=f（x）在點（2，f（x））處與直線y=8相切，求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值點．
（3）設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f′（x），當(dāng)a=1時求證：對任意x₁，x₂∈（3，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥|f′（x₁）-f′（x₂）|成立．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²-3a，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a=4，b=24．
（2）由f′（x）=3（x²-a），a≠0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值點．
（3）設(shè)x₂≥x₁＞3，要證|f（x₁）-f（x₂）|≥|f′（x₁）-f′（x₂）|，只需證x23-3x22-3x2≥x13-3x12-3x1，由此能證明對任意x₁，x₂∈（3，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥|f′（x₁）-f′（x₂）|成立．

解答： （1）解：∵f（x）=x³-3ax+b，
∴f′（x）=3x²-3a，
∵曲線y=f（x）在點（2，f（x））處與直線y=8相切，
∴

f′(2)=3(4-a)=0 f(2)=8-6a+b=8

，
解得a=4，b=24．
（2）解：∵f′（x）=3（x²-a），a≠0，
當(dāng)a＜0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，
此時函數(shù)f（x）沒有極值點，
當(dāng)a＞0時，由f′（x）=0，得x=±

a

，
當(dāng)x∈（-∞，-

a

）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（-

a

，

a

）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（

a

，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴x=-

a

是f（x）的極大值點，x=

a

是f（x）的極小值點．
（3）證明：不妨設(shè)x₂≥x₁＞3，
∵a=1，由（2）知f（x）在（3，+∞）上單調(diào)遞增，
又f′（x）=3x²-3在（3，+∞）上也單調(diào)遞增，
∴要證|f（x₁）-f（x₂）|≥|f′（x₁）-f′（x₂）|，
只需證x23-3x22-3x2≥x13-3x12-3x1，
設(shè)g（x）=x³-3x²-3x，x＞3，
g′（x）=3（x²-2x-1），
當(dāng)x＞3時，g′（x）＞0，g（x）=x³-3x²-3x在（3，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x23-3x22≥x13-3x12-3x1成立，
∴對任意x₁，x₂∈（3，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥|f′（x₁）-f′（x₂）|成立．

點評：本題重點考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．