Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²-3n，數(shù)列{b_n}滿足${b_1}=1，{b_{n+1}}={b_n}+{（\frac{1}{2}）^n}（n∈{N^*}）$．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)c_n=$\frac{a_n}{{2-{b_n}}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)a_n=S_n-S_n-1計(jì)算可知a_n=2n-4（n≥2），進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過(guò)${b_1}=1，{b_{n+1}}={b_n}+{（\frac{1}{2}）^n}（n∈{N^*}）$可知b_n+1-b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$、$_{n}-_{n-1}=\frac{1}{{2}^{n-1}}$、$_{n-1}-_{n-2}=\frac{1}{{2}^{n-2}}$、…、$_{2}-_{1}=_{2}-1=\frac{1}{2}$，累加計(jì)算即得結(jié)論；
（3）通過(guò)（1）、（2）可知c_n=（n-2）•2ⁿ，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵S_n=n²-3n，
∴a_n=S_n-S_n-1
=（n²-3n）-[（n-1）²-3（n-1）]
=2n-4（n≥2），
又∵a₁=1-3=-2滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n-4；
（2）∵${b_1}=1，{b_{n+1}}={b_n}+{（\frac{1}{2}）^n}（n∈{N^*}）$，
∴b_n+1-b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，$_{n}-_{n-1}=\frac{1}{{2}^{n-1}}$，$_{n-1}-_{n-2}=\frac{1}{{2}^{n-2}}$，…，$_{2}-_{1}=_{2}-1=\frac{1}{2}$，
累加得：b_n-1=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；
（3）由（1）、（2）可知c_n=$\frac{a_n}{{2-{b_n}}}$=$\frac{2n-4}{2-（2-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}$=（n-2）•2ⁿ，
∴T_n=-1•2+0•2²+1•2³+…+（n-2）•2ⁿ，
2T_n=-1•2²+0•2³+…+（n-3）•2ⁿ+（n-2）•2ⁿ⁺¹，
兩式錯(cuò)位相減得：-T_n=-2+2²+2³+…+2ⁿ-（n-2）•2ⁿ⁺¹
=-2+$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n-2）•2ⁿ⁺¹
=-2+2ⁿ⁺¹-4-（n-2）•2ⁿ⁺¹
=-6-（n-3）•2ⁿ⁺¹，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=6+（n-3）•2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．