Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足：f（0）=3；f（x+1）=f（x）+2x
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）在[-1，4]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）設(shè)出二次函數(shù)的一般形式后，代入f（x+1）=f（x）+2x，化簡(jiǎn)后根據(jù)多項(xiàng)式相等，各系數(shù)相等即可求出a，b及c的值，即可確定出f（x）的解析式；
（II）由（1）中函數(shù)的解析式，分析函數(shù)在f（x）在區(qū)間[-1，4]上的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值．

解答： 解：解：（I）令f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
代入f（x+1）=f（x）+2x，
得：a（x+1）²+b（x+1）+c=（ax²+bx+c）+2x，
2ax+a+b=2x，
∴

2a=2 a+b=0

，
解得a=1，b=-1，
又∵f（0）=c=3，
∴f（x）=x²-x+3；
（II）∵函數(shù)f（x）=x²-x+1的圖象是開口朝上，且以直線x=

1

2

為對(duì)稱軸的拋物線，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，

1

2

]上為減函數(shù)，區(qū)間[

1

2

，2]上為增函數(shù)，
故當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值15，
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取最小值

11

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法，及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的步驟及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．