【題目】已知橢圓的長軸長為4，直線被橢圓截得的線段長為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓的右頂點作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于兩點（點不同于橢圓的右頂點），證明：直線過定點.

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）由橢圓的對稱性知兩點關于原點對稱，不妨設在第一象限，由弦長可得，代入，再結合可解得；

（2）只要設出直線方程：，把代入橢圓方程可解得M點坐標，同理可解得N點坐標，由兩點求出直線MN的方程（注意分類討論MN與垂直和不垂直兩種情形），通過直線方程可觀察出直線所過定點．

詳解：（1）根據(jù)題意，設直線與題意交于兩點.不妨設點在第一象限，又長為，

∴，∴，可得，

又，

∴，故題意的標準方程為，

（2）顯然直線的斜率存在且不為0，設，

由得，∴，

同理可得

當時，，所以直線的方程為

整理得，所以直線

當時，直線的方程為，直線也過點

所以直線過定點.

練習冊系列答案
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【題目】某產品生產廠家根據(jù)以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統(tǒng)計規(guī)律：每生產產品（百臺），其總成本為（萬元），其中固定成本為萬元，并且每生產百臺的生產成本為萬元（總成本固定成本生產成本）．銷售收入（萬元）滿足，假定該產品產銷平衡（即生產的產品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律，請完成下列問題：

（1）寫出利潤函數(shù)的解析式（利潤銷售收入總成本）；

（2）工廠生產多少臺產品時，可使盈利最多？

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【題目】下列關于函數(shù)的判斷正確的是（　�。�

①的解集是；

②極小值，是極大值；

③沒有最小值，也沒有最大值．

A. ①③ B. ①②③ C. ② D. ①②

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【題目】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）若直線過點，求直線的極坐標方程；

（2）若直線與曲線交于兩點，求的最大值.

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【題目】下列函數(shù)中，滿足“f（x+y）=f（x）f（y）”的單調遞增函數(shù)是（ ）
A.f（x）=
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C.f（x）=（ ）x
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【題目】為了及時向群眾宣傳“十九大”黨和國家“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略，需要尋找一個宣講站，讓群眾能在最短的時間內到宣講站．設有三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，分別位于一個矩形的兩個頂點及的中點處，，，現(xiàn)要在該矩形的區(qū)域內（含邊界），且與等距離的一點處設一個宣講站，記點到三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的距離之和為．

（Ⅰ）設，將表示為的函數(shù)；

（Ⅱ）試利用（Ⅰ）的函數(shù)關系式確定宣講站的位置，使宣講站到三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的距離之和最�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖1，四面體ABCD及其三視圖（如圖2所示），過棱AB的中點E作平行于AD，BC的平面分別交四面體的棱BD，DC，CA于點F，G，H．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗．所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：kPa）的分組區(qū)間為[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組．如圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（ ）

A.6
B.8
C.12
D.18

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】甲、乙、丙三名大學生參加學校組織的“國學達人”挑戰(zhàn)賽， 每人均有兩輪答題機會，當且僅當?shù)谝惠啿贿^關時進行第二輪答題.根據(jù)平時經驗，甲、乙、丙三名大學生每輪過關的概率分別為，且三名大學生每輪過關與否互不影響.

（1）求甲、乙、丙三名大學生都不過關的概率；

（2）記為甲、乙、丙三名大學生中過關的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.

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