Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB=PA=4，A點在PD上的射影為G點，E點在AB上，平面PCE⊥平面PCD．
（1）求證：AG⊥平面PCD；
（2）求直線PD與平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）先證明出CD⊥平面PAD，進(jìn)而可推斷出CD⊥AG，然后利用AG⊥PD，根據(jù)線面垂直的判定定理證明出結(jié)論．
（2）建立坐標(biāo)系，先求出面PCE的法向量，再利用向量的夾角公式求出直線PD與平面PCE所成角的正弦值．

解答 （1）證明：∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA=A
∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG，
又PD⊥AG，CD∩PD=D
∴AG⊥平面PCD；
（2）解：如圖建立坐標(biāo)系，則P（0，0，3），C（4，4，0），D（0，4，0），G（0，2，2），

設(shè)E（a，0，0），由（1）知：$\overrightarrow{AG}=（0，2，2）$是面PCD的法向量，
又$\overrightarrow{PC}=（4，4，-4）$，$\overrightarrow{EC}=（4-a，4，0）$，設(shè)面PCE的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PC}=4x+4y-4z=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{EC}=（4-a）x+4y=0\end{array}\right.$，取x=4，得：$\overrightarrow n=（4，a-4，a）$
因平面PCE⊥平面PCD，$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow n=0+2（{a-4}）+2a=0$，∴a=2，即：$\overrightarrow n=（4，-2，2）$
又$\overrightarrow{PD}=（0，4，-4）$，設(shè)PD與面PCE所成的角為θ，
則：$sinθ=\frac{{|{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow{PD}}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{16}{{4\sqrt{2}•2\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題主要考查了線面垂直的判定定理的運用，考查線面角，考查了學(xué)生空間觀察和分析的能力，屬于中檔題．