Question

3．已知{a_n}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a₂a₃=15，a₁+a₄=8．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{${\frac{b_n}{2^n}}\right.$}的前n項(xiàng)和為T_n且T_n=$\frac{{{a_n}+1}}{2}$（n∈N₊），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由已知列式求得公差，進(jìn)一步求出首項(xiàng)，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）由T_n=$\frac{{{a_n}+1}}{2}$求得T_n，進(jìn)一步得到${\frac{b_n}{2^n}}\right.$，從而求得b_n，再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得答案．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d．
由a₁+a₄=a₂+a₃=8，及a₂a₃=15可得a₂=3，a₃=5．
∴d=a₃-a₂=5-3=2，則a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由${T_n}=\frac{{{a_n}+1}}{2}=n$，得T_n-1=n-1（n≥2）．
∴$\frac{_{n}}{{2}^{n}}={T}_{n}{-T}_{n-1}=1$（n≥2），
又$\frac{_{1}}{2}={T}_{1}=1$成立，
∴${b_n}={2^n}$，
則${S}_{n}=\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n+1}-2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．