【題目】已知橢圓C:,直線l:y=kx+b與橢圓C相交于A、B兩點.

(1)如果k+b=﹣,求動直線l所過的定點;

(2)記橢圓C的上頂點為D,如果∠ADB=,證明動直線l過定點P(0,﹣);

(3)如果b=﹣,點B關于y軸的對稱點為B,向直線AB是過定點?如果是,求出定點的坐標;如果不是,請說明理由.

【答案】(1)定點(1,﹣);(2)見解析;(3)定點(0,﹣2).

【解析】

(1)把b=﹣k﹣代入直線方程可得定點坐標;

(2)根據(jù)∠ADB=,可得,結合韋達定理可得關系;

(3)結合對稱性求出直線AB的方程,結合韋達定理,從而可得定點坐標.

(1)∵k+b=﹣,∴b=﹣k﹣,∴y=kx﹣k﹣=k(x﹣1)﹣,

所以動直線l過定點(1,﹣).

(2)聯(lián)立消去y得(1+2k2)x2+4kbx+2b2﹣2=0,

設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=﹣ ,

∵∠ADB=,又D(0,1),

∴(x1,y1﹣1)(x2,y2﹣1)=x1x2+(y1﹣1)(y2﹣1)=x1x2+(kx1+b﹣1)(kx2+b﹣1)

=x1x2+k2x1x2+(b﹣1)2+k(b﹣1)(x1+x2

=(1+k2)x1x2+k(b﹣1)(x1+x2)+(b﹣1)2

=(1+k2)×+k(b﹣1)×+(b﹣1)2

(b﹣1),

(b﹣1)=0,又b≠1(否則直線l過D),

∴b=﹣,所以動直線l過定點(0,﹣).

(3)b=﹣,直線l為:y=kx﹣,由(2)知x1+x2,

經(jīng)過A(x1,y1),B′(﹣x2,y2)的直線方程為: ,

,

令x=0得y﹣ ,

∴y=kx1 ,

所以直線AB′是過定點(0,﹣2).

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